自然公園が川によって東西のエリアに分かれており、鹿が生息している。毎年、東エリアの鹿の1/5が西エリアに移動し、西エリアの鹿の1/3が東エリアに移動する。鹿の総数は一定であるという条件の下で、長期間後の鹿の分布を求める。

1. 問題の内容

自然公園が川によって東西のエリアに分かれており、鹿が生息している。毎年、東エリアの鹿の1/5が西エリアに移動し、西エリアの鹿の1/3が東エリアに移動する。鹿の総数は一定であるという条件の下で、長期間後の鹿の分布を求める。

2. 解き方の手順

まず、東エリアの鹿の数を$x$、西エリアの鹿の数を$y$とする。鹿の総数は一定なので、$x + y = N$ (定数)と表せる。

次に、1年後の鹿の分布を考える。

東エリアの鹿の数は、西エリアから1/3が移動してきて、東エリアから1/5が移動していくので、

$x' = x - \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}y$

となる。同様に西エリアの鹿の数は、東エリアから1/5が移動してきて、西エリアから1/3が移動していくので、

$y' = y + \frac{1}{5}x - \frac{1}{3}y$

となる。

長期間後の鹿の分布は、$x'$と$x$, $y'$と$y$が等しくなる状態である。

すなわち、

$x = x - \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}y$

$y = y + \frac{1}{5}x - \frac{1}{3}y$

が成り立つ。

この式を整理すると、

$0 = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{3}y$

となる。したがって、

$\frac{1}{5}x = \frac{1}{3}y$

$3x = 5y$

$x = \frac{5}{3}y$

また、$x+y = N$なので、

$\frac{5}{3}y + y = N$

$\frac{8}{3}y = N$

$y = \frac{3}{8}N$

そして、$x = N - y$なので、

$x = N - \frac{3}{8}N = \frac{5}{8}N$

3. 最終的な答え

長期間後、東エリアの鹿の数は全体の5/8、西エリアの鹿の数は全体の3/8となる。

東エリア: $\frac{5}{8}N$

西エリア: $\frac{3}{8}N$