4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を、以下の範囲で因数分解する問題です。 (ア) 有理数 (イ) 実数 (ウ) 複素数

1. 問題の内容

4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を、以下の範囲で因数分解する問題です。

(ア) 有理数

(イ) 実数

(ウ) 複素数

2. 解き方の手順

まず、$x^4 + x^2 - 12$ を因数分解します。

$x^2 = t$ と置くと、$x^4 + x^2 - 12 = t^2 + t - 12$ となります。

$t^2 + t - 12$ は $(t+4)(t-3)$ と因数分解できます。

よって、$x^4 + x^2 - 12 = (x^2 + 4)(x^2 - 3)$ となります。

(ア) 有理数の範囲で因数分解する場合：

$(x^2 + 4)(x^2 - 3)$ のうち、$x^2 - 3$ は $(\sqrt{3})^2$ と表現できるので、$x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$と因数分解できます。しかし、$\sqrt{3}$は有理数ではないので、$x^2 + 4$ および $x^2-3$ は有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。したがって、有理数の範囲では $(x^2+4)(x^2-3)$ が答えとなります。

(イ) 実数の範囲で因数分解する場合：

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x^2 = -4$ となり、$x = \pm 2i$ です。これは虚数解なので、$x^2+4$をこれ以上実数の範囲では因数分解できません。

$x^2 - 3 = 0$ を解くと、$x^2 = 3$ となり、$x = \pm \sqrt{3}$ です。よって、$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できます。

したがって、実数の範囲では $(x^2+4)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ が答えとなります。

(ウ) 複素数の範囲で因数分解する場合：

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x^2 = -4$ となり、$x = \pm 2i$ です。よって、$x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$ と因数分解できます。

$x^2 - 3 = 0$ を解くと、$x^2 = 3$ となり、$x = \pm \sqrt{3}$ です。よって、$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲では $(x - 2i)(x + 2i)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

(ア) 有理数の範囲: $(x^2+4)(x^2-3)$

(イ) 実数の範囲: $(x^2+4)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

(ウ) 複素数の範囲: $(x - 2i)(x + 2i)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$