不等式 $x^2 - 7 < |x - 5|$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - 7 < |x - 5|$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、$x - 5$ の正負で場合分けします。

(i) $x \geq 5$ のとき、 $|x - 5| = x - 5$ なので、不等式は

$x^2 - 7 < x - 5$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x - 2)(x + 1) < 0$

$-1 < x < 2$

しかし、$x \geq 5$ という条件があるので、この場合は解なしです。

(ii) $x < 5$ のとき、 $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$ なので、不等式は

$x^2 - 7 < 5 - x$

$x^2 + x - 12 < 0$

$(x + 4)(x - 3) < 0$

$-4 < x < 3$

$x < 5$ という条件があるので、この場合は $-4 < x < 3$ が解となります。

(i), (ii) より、不等式の解は $-4 < x < 3$ です。

3. 最終的な答え

$-4 < x < 3$