2次方程式 $x^2 + 2(k-4)x + k+2 = 0$ が、 (1) 異なる2つの負の解をもつとき、 (2) 正の解と負の解をもつとき、 それぞれの場合について定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(k-4)x + k+2 = 0$ が、

(1) 異なる2つの負の解をもつとき、

(2) 正の解と負の解をもつとき、

それぞれの場合について定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 + 2(k-4)x + k+2 = 0$ とする。

(1) 異なる2つの負の解をもつとき

2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、$\alpha < 0$, $\beta < 0$ かつ $\alpha \neq \beta$ である。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2(k-4) > 0$

$\alpha \beta = k+2 > 0$

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である必要がある。

$D/4 = (k-4)^2 - (k+2) = k^2 - 8k + 16 - k - 2 = k^2 - 9k + 14 = (k-2)(k-7) > 0$

したがって、

$k-4 < 0$ より $k < 4$

$k+2 > 0$ より $k > -2$

$(k-2)(k-7) > 0$ より $k < 2$ または $k > 7$

これらを全て満たす $k$ の範囲は、$-2 < k < 2$ である。

(2) 正の解と負の解をもつとき

2つの解 $\alpha$, $\beta$ が $\alpha > 0$, $\beta < 0$ である。このとき、解と係数の関係より、$\alpha \beta = k+2 < 0$ であればよい。

したがって、$k < -2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < k < 2$

(2) $k < -2$