$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 2025$, $x \ge 3y$ をすべて満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 2025$, $x \ge 3y$ をすべて満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \ge 3y$ より、$y \le \frac{x}{3}$ である。

$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ なので、$x$ と $y$ は非負の整数である。

$x^2 + y^2 \le 2025 = 45^2$ なので、$0 \le x \le 45$ かつ $0 \le y \le 45$ である。

$x \ge 3y$ と $x^2 + y^2 \le 2025$ を同時に満たす $(x,y)$ の組を求める。

$y = 0$ のとき、$x \ge 0$ かつ $x^2 \le 2025 = 45^2$ なので、$0 \le x \le 45$。よって、$x$ は 46 個の値を取りうる。

$y = 1$ のとき、$x \ge 3$ かつ $x^2 + 1 \le 2025$ なので、$x^2 \le 2024$。よって、$3 \le x \le 44$。$x$ は $44 - 3 + 1 = 42$ 個の値を取りうる。

$y = 2$ のとき、$x \ge 6$ かつ $x^2 + 4 \le 2025$ なので、$x^2 \le 2021$。よって、$6 \le x \le 44$。$x$ は $44 - 6 + 1 = 39$ 個の値を取りうる。

$y = 3$ のとき、$x \ge 9$ かつ $x^2 + 9 \le 2025$ なので、$x^2 \le 2016$。よって、$9 \le x \le 44$。$x$ は $44 - 9 + 1 = 36$ 個の値を取りうる。

$y = 4$ のとき、$x \ge 12$ かつ $x^2 + 16 \le 2025$ なので、$x^2 \le 2009$。よって、$12 \le x \le 44$。$x$ は $44 - 12 + 1 = 33$ 個の値を取りうる。

$y = 5$ のとき、$x \ge 15$ かつ $x^2 + 25 \le 2025$ なので、$x^2 \le 2000$。よって、$15 \le x \le 44$。$x$ は $44 - 15 + 1 = 30$ 個の値を取りうる。

$y = 14$ のとき、$x \ge 42$ かつ $x^2 + 196 \le 2025$ なので、$x^2 \le 1829$。よって、$42 \le x \le 42$。$x$ は $1$ 個の値を取りうる。

$43^2 = 1849$, $44^2 = 1936$, $45^2 = 2025$

以下同様に、$x \ge 3y$ かつ $x \le \sqrt{2025 - y^2}$ となる整数 $x$ の個数を求め、$y=0$ から始めて、合計を計算する。

$y = 0: 0 \le x \le 45 \implies 46$

$y = 1: 3 \le x \le 44 \implies 42$

$y = 2: 6 \le x \le 44 \implies 39$

$y = 3: 9 \le x \le 44 \implies 36$

$y = 4: 12 \le x \le 44 \implies 33$

$y = 5: 15 \le x \le 44 \implies 30$

$y = 6: 18 \le x \le 43 \implies 26$

$y = 7: 21 \le x \le 43 \implies 23$

$y = 8: 24 \le x \le 43 \implies 20$

$y = 9: 27 \le x \le 43 \implies 17$

$y = 10: 30 \le x \le 42 \implies 13$

$y = 11: 33 \le x \le 42 \implies 10$

$y = 12: 36 \le x \le 40 \implies 5$

$y = 13: 39 \le x \le 37 \implies 0$

したがって、合計は、$46 + 42 + 39 + 36 + 33 + 30 + 26 + 23 + 20 + 17 + 13 + 10 + 5 + 0 = 340$

3. 最終的な答え

340