色の異なる8個の玉を、袋Aに1個、袋Bに3個、袋Cに4個に分けて入れる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

色の異なる8個の玉を、袋Aに1個、袋Bに3個、袋Cに4個に分けて入れる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、8個の玉から袋Aに入れる1個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは$_{8}C_{1}$で表されます。

次に、残りの7個の玉から袋Bに入れる3個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは$_{7}C_{3}$で表されます。

最後に、残りの4個の玉は自動的に袋Cに入ります。組み合わせは$_{4}C_{4}=1$通りです。

したがって、全体の組み合わせの数は、これらの組み合わせの積で計算されます。

$_{8}C_{1} = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = \frac{8}{1} = 8$

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_{4}C_{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

全体の組み合わせの数は $8 \times 35 \times 1 = 280$通りです。

3. 最終的な答え

280 通り