$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1-2i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1-2i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$1-2i$ が解であるとき、係数が実数であることから、共役複素数 $1+2i$ も解である。

したがって、$x^3 - x^2 + ax + b = 0$ は $(x-(1-2i))(x-(1+2i)) = (x-1+2i)(x-1-2i) = ((x-1)+2i)((x-1)-2i) = (x-1)^2 - (2i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$ を因数に持つ。

つまり、$x^3 - x^2 + ax + b = (x^2 - 2x + 5)(x-k)$ と書ける。展開すると、

$x^3 - x^2 + ax + b = x^3 - kx^2 - 2x^2 + 2kx + 5x - 5k = x^3 - (k+2)x^2 + (2k+5)x - 5k$

係数を比較して

$-(k+2) = -1$ より $k+2 = 1$, よって $k = -1$

$a = 2k+5 = 2(-1) + 5 = 3$

$b = -5k = -5(-1) = 5$

したがって、$x^3 - x^2 + 3x + 5 = (x^2 - 2x + 5)(x+1) = 0$ なので、解は $x = 1-2i, 1+2i, -1$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 5$

他の解は $1+2i, -1$