数列 $a_n$ が、$a_n = (2^{n+2} - 4) - (2^{n+1} - 4)$ で定義されているとき、$a_n$ を簡略化して求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が、$a_n = (2^{n+2} - 4) - (2^{n+1} - 4)$ で定義されているとき、$a_n$ を簡略化して求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$の式を展開します。

$a_n = 2^{n+2} - 4 - 2^{n+1} + 4$

次に、定数項を整理します。

$a_n = 2^{n+2} - 2^{n+1}$

$2^{n+2}$は$2 \cdot 2^{n+1}$と書き換えることができます。

$a_n = 2 \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1}$

共通因数 $2^{n+1}$ でくくります。

$a_n = (2 - 1) \cdot 2^{n+1}$

$a_n = 1 \cdot 2^{n+1}$

したがって、$a_n$ は次のようになります。

$a_n = 2^{n+1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n+1}$