与えられた数式 $S$ を簡略化すること。 与えられた式は以下の通りです。 $S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ この式を簡略化し、最終的に $S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ となることを確認します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $S$ を簡略化すること。

与えられた式は以下の通りです。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$

この式を簡略化し、最終的に

$S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

となることを確認します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1)\}$

中括弧の中を簡略化します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\{2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1\}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\{3 \cdot 2^{n-1} - 1\}$

次に、$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$を中括弧の中に分配します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot (3 \cdot 2^{n-1}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot 1$

$S = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot 2^{n-1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$

$S = \frac{3}{2} \cdot 2^{2n-2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$

与えられた最終形は$2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$です。

これを展開すると、以下のようになります。

$2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{n-2} \cdot 2^{n-1} - 2^{n-2}$

$= 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

$= \frac{3}{2} \cdot 2^{2n-2} - \frac{1}{4} \cdot 2^n$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} = 2^{n-2}$なので、

$S = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

最初の式から

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\{3 \cdot 2^{n-1} - 1\} = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

3. 最終的な答え

$S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$