方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ はどのような図形を表すか。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ はどのような図形を表すか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を平方完成の形に変形します。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめます。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 4$

$x^2 + 4x$ を平方完成させるには、$(x+2)^2 - 2^2$ とします。

$y^2 - 2y$ を平方完成させるには、$(y-1)^2 - 1^2$ とします。

これらを代入すると、

$(x+2)^2 - 2^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 4$

$(x+2)^2 - 4 + (y-1)^2 - 1 = 4$

定数項を右辺に移項します。

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 4 + 4 + 1$

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9$

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 3^2$

この式は、中心が $(-2, 1)$ で半径が $3$ の円を表します。

3. 最終的な答え

中心 $(-2, 1)$、半径 $3$ の円