次の方程式がどのような図形を表すか答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ (2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式がどのような図形を表すか答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた方程式を平方完成の形に変形します。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめて、

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 4$

次に、平方完成を行います。

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 4$

$(x + 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 = 4$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 + 4 + 1$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

この式は、中心が $(-2, 1)$、半径が $3$ の円を表します。

(2)

同様に、与えられた方程式を平方完成の形に変形します。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめて、

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 8y) = -9$

次に、平方完成を行います。

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 + 8y + 16) - 16 = -9$

$(x + 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -9$

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = -9 + 9 + 16$

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 4^2$

この式は、中心が $(-3, -4)$、半径が $4$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-2, 1)$, 半径 $3$ の円

(2) 中心 $(-3, -4)$, 半径 $4$ の円