2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値とその重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値とその重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (m+1)^2 - 4(1)(m)$

$D = m^2 + 2m + 1 - 4m$

$D = m^2 - 2m + 1$

$D = (m-1)^2$

重解を持つためには $D=0$ である必要があるので、

$(m-1)^2 = 0$

したがって、$m=1$ です。

$m=1$ を元の2次方程式に代入すると、

$x^2 - (1+1)x + 1 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

したがって、重解は $x=1$ です。

3. 最終的な答え

$m=1$, 重解 $x=1$