数列 $\{a_n\}$ が与えられており、以下の条件を満たすときの一般項 $a_n$ を求めます。 $a_1 = 1$ $(n^2 - 1)a_n = 2n^2a_{n-1} + n + 1$ ($n \ge 2$)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、以下の条件を満たすときの一般項 $a_n$ を求めます。

$a_1 = 1$

$(n^2 - 1)a_n = 2n^2a_{n-1} + n + 1$ ($n \ge 2$)

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を整理します。

$(n^2 - 1)a_n = 2n^2a_{n-1} + n + 1$

両辺を $n^2-1 = (n-1)(n+1)$ で割ると

$a_n = \frac{2n^2}{n^2 - 1} a_{n-1} + \frac{n+1}{n^2 - 1} = \frac{2n^2}{(n-1)(n+1)} a_{n-1} + \frac{1}{n-1}$

$a_n = \frac{2n^2}{(n-1)(n+1)} a_{n-1} + \frac{1}{n-1}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{n^2}$ とおきます。

元の式を $n^2$ で割ると、

$\frac{n^2-1}{n^2} a_n = 2 a_{n-1} + \frac{n+1}{n^2}$

$\frac{n^2-1}{n^2} a_n = \frac{n^2-1}{n^2} n^2b_n = (n^2-1) b_n$

$2 a_{n-1} + \frac{n+1}{n^2}$

$(n^2 - 1)b_n = 2(n-1)^2b_{n-1} + \frac{n+1}{n^2}$

$a_n$ を $n(n+1)$で割ると以下のようになる。

$\frac{a_n}{n(n+1)} = \frac{2n}{(n-1)(n+1)^2} a_{n-1} + \frac{1}{(n-1)n(n+1)}$

与えられた漸化式を変形します。

$(n^2 - 1)a_n = 2n^2 a_{n-1} + n + 1$

$(n-1)(n+1)a_n = 2n^2 a_{n-1} + n + 1$

両辺を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{(n-1)}{n} a_n = \frac{2n}{n+1} a_{n-1} + \frac{1}{n}$

ここで、$c_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、

$(n-1)c_n = \frac{2n}{n+1}(n-1)c_{n-1} + \frac{1}{n}$

$n(n-1)c_n = \frac{2n^2(n-1)}{n+1}c_{n-1} + 1$

両辺を $n(n+1)$で割る。

$\frac{n-1}{n(n+1)}a_n = \frac{2n}{(n+1)} a_{n-1} + \frac{1}{n(n+1)}$

$a_n = \frac{2n^2}{n^2-1} a_{n-1} + \frac{n+1}{n^2-1} = \frac{2n^2}{n^2-1} a_{n-1} + \frac{1}{n-1}$

$a_n = \frac{2n^2}{n^2-1} a_{n-1} + \frac{1}{n-1}$

$a_n = \frac{2n^2}{(n-1)(n+1)} a_{n-1} + \frac{1}{n-1}$

$a_1 = 1$

$a_2 = \frac{2(2^2)}{2^2-1} a_1 + \frac{1}{2-1} = \frac{8}{3} \cdot 1 + 1 = \frac{11}{3}$

$a_3 = \frac{2(3^2)}{3^2-1} a_2 + \frac{1}{3-1} = \frac{18}{8} \cdot \frac{11}{3} + \frac{1}{2} = \frac{33}{4} + \frac{1}{2} = \frac{35}{4}$

$a_n = n^2$を仮定して数学的帰納法で示す。

$n=1$のとき、$a_1 = 1^2 = 1$ なので成立する。

$n=k$のとき、$a_k = k^2$が成立すると仮定する。

$a_{k+1} = \frac{2(k+1)^2}{k^2+2k} k^2 + \frac{1}{k} = \frac{2(k+1)^2}{k(k+2)} k^2 + \frac{1}{k} = \frac{2(k+1)^2 k}{k+2} + \frac{1}{k}$

一般項が$a_n = n^2$のとき、

$(n^2 - 1)a_n = (n^2 - 1) n^2$

$2n^2 a_{n-1} + n + 1 = 2n^2 (n-1)^2 + n + 1 = 2n^2(n^2 - 2n + 1) + n + 1 = 2n^4 - 4n^3 + 2n^2 + n + 1$

$(n^2-1)n^2 = n^4 - n^2$

$2n^4 - 4n^3 + 2n^2 + n + 1 = n^4 - n^2$

$n^4 - 4n^3 + 3n^2 + n + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2$