一辺が8cmの正方形の中に、2つの扇形と1つの三角形があります。色がついた部分の面積の合計を求めます。

1. 問題の内容

一辺が8cmの正方形の中に、2つの扇形と1つの三角形があります。色がついた部分の面積の合計を求めます。

2. 解き方の手順

まず、正方形の面積を計算します。

次に、正方形の半分を計算します。

次に、扇形の面積を計算します。扇形は半径8cm、中心角90度の扇形なので、円の4分の1の面積です。

最後に、正方形の半分と扇形の面積が等しいことに気付きます。したがって、色がついた部分の面積の合計は、正方形の面積の半分に等しくなります。

正方形の面積は、$8 \times 8 = 64$ 平方センチメートルです。

正方形の半分は、$64 \div 2 = 32$ 平方センチメートルです。

扇形の面積は、$\pi \times 8^2 \times \frac{1}{4} = 16\pi$ 平方センチメートルです。

$16\pi$は約50.24平方センチメートルなので、色付き部分の面積は正方形の半分の面積とは異なります。

正方形を半分に分割する線によって分けられた2つの領域のうち、色付き領域は、正方形の半分から中央の白い領域を引いたものです。

白い領域は、扇形から直角三角形を引いたものです。

直角三角形の面積は、$8 \times 8 \div 2 = 32$ 平方センチメートルです。

白い領域は、$16\pi - 32$ 平方センチメートルです。

色付き領域は、$32 - (16\pi - 32) = 64 - 16\pi$ 平方センチメートルです。

2つの領域を足し合わせると、$2 \times (64 - 16\pi) = 128 - 32\pi$ 平方センチメートルです。

別の解き方：

正方形の面積は $8 \times 8 = 64$ 平方センチメートルです。

扇形の面積は、半径8cm、中心角90度の扇形なので、円の4分の1の面積です。

扇形の面積は $\pi \times 8^2 \times \frac{1}{4} = 16\pi$

扇形二つ分の面積は $32\pi$ です。

2つの扇形の重なり部分の面積を求めます。これは正方形から色付き部分を除いた面積と等しく、$64 - S$です。

三角形の面積は、底辺8cm、高さ8cmなので、$\frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$ 平方センチメートルです。

色付き領域は2つの扇形の面積から三角形の面積を引いた面積と等しいです。

$2S = 32\pi - 32$

$S = 16\pi - 16$

したがって、$64 - S = 64 - (16\pi - 16) = 80 - 16\pi$

色付き部分の面積の和は $64 - (80 - 16\pi) = 16\pi - 16$。

$64 - (16\pi - 16) = 80 - 16\pi$

正方形の面積から中央の図形を引くと考えます。

中央の図形は、扇形2つ分から正方形を引いたものです。

$2 \times 16\pi - 64 = 32\pi - 64$

したがって、$64 - (32\pi - 64) = 128 - 32\pi \approx 27.46$。

二つの扇形を足すと$16\pi * 2 = 32\pi$。

$S$を求めたい面積とすると$2S = 64$です。

3. 最終的な答え

$64$ cm$^2$