与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた恒等式を利用して、各項を分解します。

$S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

恒等式より、各項は以下のように分解できます。

$\frac{1}{1\cdot4} = \frac{1}{3} (\frac{1}{1} - \frac{1}{4})$

$\frac{1}{4\cdot7} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{7})$

$\frac{1}{7\cdot10} = \frac{1}{3} (\frac{1}{7} - \frac{1}{10})$

$\vdots$

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})$

したがって、$S$ は次のようになります。

$S = \frac{1}{3} (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + \cdots + \frac{1}{3} (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})$

$\frac{1}{3}$ で括り出すと、

$S = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})$

多くの項が打ち消し合い、残るのは最初の項と最後の項のみです。

$S = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3n+1})$

$S = \frac{1}{3} (\frac{3n+1}{3n+1} - \frac{1}{3n+1})$

$S = \frac{1}{3} (\frac{3n}{3n+1})$

$S = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{3n+1}$