2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるためには、以下の2つの条件が満たされる必要があります。

* $a < 0$ （上に凸の放物線であること）

* 判別式 $D < 0$ （$x$軸との交点を持たないこと）

判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で求められます。この問題では、$a = a, b = 2, c = 4a$ なので、

$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 4a$

$D = 4 - 16a^2$

したがって、$D < 0$ より、

$4 - 16a^2 < 0$

$16a^2 > 4$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

ただし、$a < 0$ の条件より、$a > \frac{1}{2}$ は不適です。

したがって、$a < -\frac{1}{2}$ が得られます。

$a = 0$ の場合、$2x < 0$ となり、$x < 0$ であるから、解が全ての実数とはならないので不適である。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{2}$