全体集合 $U$ を実数全体とし、部分集合 $A$ と $B$ がそれぞれ $A = \{x | 3 \leq x \leq 7\}$、 $B = \{x | 5 < x < 10\}$ で与えられている。このとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を実数全体とし、部分集合 $A$ と $B$ がそれぞれ $A = \{x | 3 \leq x \leq 7\}$、 $B = \{x | 5 < x < 10\}$ で与えられている。このとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$A = \{x | 3 \leq x \leq 7\}$

$B = \{x | 5 < x < 10\}$

したがって、$A \cap B = \{x | 5 < x \leq 7\}$ となる。

(2) $A \cup B$ は、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合である。

$A = \{x | 3 \leq x \leq 7\}$

$B = \{x | 5 < x < 10\}$

したがって、$A \cup B = \{x | 3 \leq x < 10\}$ となる。

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$\overline{A} = \{x | x < 3 \text{ または } x > 7\}$

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$\overline{B} = \{x | x \leq 5 \text{ または } x \geq 10\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ または } x \geq 10 \text{ または } 5 \geq x >7\}$

よって $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x|x<3 \text{ または } x > 5\}$

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$.

$A \cap B = \{x | 5 < x \leq 7\}$より、$\overline{A \cap B} = \{x | x \leq 5 \text{ または } x > 7\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$\overline{A} = \{x | x < 3 \text{ または } x > 7\}$

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$\overline{B} = \{x | x \leq 5 \text{ または } x \geq 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ または } x > 7\} \cap \{x | x \leq 5 \text{ または } x \geq 10\} = \{x | x < 3 \text{ または } x \geq 10\}$

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$.

$A \cup B = \{x | 3 \leq x < 10\}$より、$\overline{A \cup B} = \{x | x < 3 \text{ または } x \geq 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 5 < x \leq 7\}$

(2) $A \cup B = \{x | 3 \leq x < 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x \leq 5 \text{ または } x > 7\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ または } x \geq 10\}$