与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$k$ が 1 から $n$ まで変化するときに $(k-1)(k+2)$ で表される項の和です。すなわち、 $$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$k$ が 1 から $n$ まで変化するときに $(k-1)(k+2)$ で表される項の和です。すなわち、

$$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k+2)$ を展開します。

$$(k-1)(k+2) = k^2 + 2k - k - 2 = k^2 + k - 2$$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2)$ を計算します。和の性質を利用して、各項を別々に計算できます。

$$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$$

それぞれの和の公式を使用します。

* $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

* $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

* $\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

これらの公式を代入します。

$$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n$$

共通因数 $n$ でくくり、整理します。

$$n\left(\frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n+1}{2} - 2\right) = n\left(\frac{2n^2 + 3n + 1}{6} + \frac{3(n+1)}{6} - \frac{12}{6}\right)$$

$$= n\left(\frac{2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 - 12}{6}\right) = n\left(\frac{2n^2 + 6n - 8}{6}\right)$$

$$= \frac{n}{6}(2n^2 + 6n - 8) = \frac{n}{3}(n^2 + 3n - 4) = \frac{n(n-1)(n+4)}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n+4)}{3}$