与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、 $\sum_{k=1}^{n} \frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}$

とおきます。両辺に $k(k+1)(k+2)$ をかけると

$3k+4 = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)$

となります。

$k=0$ を代入すると、$4 = 2A$ より $A=2$ です。

$k=-1$ を代入すると、$1 = -B$ より $B=-1$ です。

$k=-2$ を代入すると、$-2 = 2C$ より $C=-1$ です。

したがって、

$\frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$

となります。

次に、この和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{2}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right)$

$= \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+2}$

$= 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=3}^{n+2} \frac{1}{k}$

$= \frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \sum_{k=3}^{n} \frac{2}{k} - \left(\frac{1}{2} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n+1}\right) - \left(\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right)$

$= 2 + 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

$= \frac{5}{2} - \frac{2}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

$= \frac{5}{2} - \frac{2(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5}{2} - \frac{3n+5}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5(n+1)(n+2) - 2(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5(n^2+3n+2) - 6n - 10}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2 + 15n + 10 - 6n - 10}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2 + 9n}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(5n+9)}{2(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+9)}{2(n+1)(n+2)}$