関数 $y = x - x^3$ のグラフ上の点 $P(t, t-t^3)$ における接線を $l$ とする（ただし $t > 0$）。 (1) 接線 $l$ と曲線 $y = x - x^3$ の交点のうち、$P$ と異なる点を $Q$ とする。点 $Q$ の $x$ 座標を求める。 (2) 原点を $O$ とする。三角形 $OPQ$ の面積が $12$ となるとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x - x^3$ のグラフ上の点 $P(t, t-t^3)$ における接線を $l$ とする（ただし $t > 0$）。

(1) 接線 $l$ と曲線 $y = x - x^3$ の交点のうち、$P$ と異なる点を $Q$ とする。点 $Q$ の $x$ 座標を求める。

(2) 原点を $O$ とする。三角形 $OPQ$ の面積が $12$ となるとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(t, t-t^3)$ における接線 $l$ の方程式を求める。

$y = x - x^3$ を $x$ で微分すると、

$y' = 1 - 3x^2$

点 $P$ における接線の傾きは、$1 - 3t^2$ なので、接線 $l$ の方程式は、

$y - (t - t^3) = (1 - 3t^2)(x - t)$

$y = (1 - 3t^2)x - t + 3t^3 + t - t^3$

$y = (1 - 3t^2)x + 2t^3$

次に、接線 $l$ と曲線 $y = x - x^3$ の交点の $x$ 座標を求める。

$(1 - 3t^2)x + 2t^3 = x - x^3$

$x^3 - 3t^2x + 2t^3 = 0$

$(x - t)(x^2 + tx - 2t^2) = 0$

$(x - t)(x - t)(x + 2t) = 0$

$(x - t)^2(x + 2t) = 0$

したがって、交点の $x$ 座標は、$x = t, -2t$ である。

$Q$ は $P$ と異なる点であるから、$Q$ の $x$ 座標は $-2t$ である。

(2) $Q$ の $y$ 座標を求める。

$y = x - x^3$ に $x = -2t$ を代入すると、

$y = -2t - (-2t)^3 = -2t + 8t^3$

よって、$Q(-2t, -2t + 8t^3)$

三角形 $OPQ$ の面積を求める。$O(0, 0)$, $P(t, t-t^3)$, $Q(-2t, -2t+8t^3)$ より、面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} |t(-2t + 8t^3) - (t - t^3)(-2t)|$

$S = \frac{1}{2} |-2t^2 + 8t^4 + 2t^2 - 2t^4|$

$S = \frac{1}{2} |6t^4| = 3t^4$

三角形 $OPQ$ の面積が $12$ なので、

$3t^4 = 12$

$t^4 = 4$

$t^2 = 2$

$t = \pm \sqrt{2}$

$t > 0$ より、$t = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点 $Q$ の $x$ 座標は $-2t$

(2) $t = \sqrt{2}$