次の曲線とx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。 (1) $y = x^2 - 2x$ (2) $y = \sin x \ (0 \le x \le \pi)$

1. 問題の内容

次の曲線とx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x$

(2) $y = \sin x \ (0 \le x \le \pi)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x$ と $y = 0$ (x軸) の交点を求めます。

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

$x = 0, 2$

よって、積分区間は $[0, 2]$ です。

回転体の体積 $V$ は

$V = \pi \int_0^2 (x^2 - 2x)^2 dx$

$V = \pi \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx$

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_0^2$

$V = \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right)$

$V = \pi \left( \frac{96 - 240 + 160}{15} \right)$

$V = \pi \left( \frac{16}{15} \right)$

$V = \frac{16\pi}{15}$

(2)

$y = \sin x$ と $y = 0$ (x軸) の交点は、$x = 0$ と $x = \pi$ です。

積分区間は $[0, \pi]$ です。

回転体の体積 $V$ は

$V = \pi \int_0^\pi (\sin x)^2 dx$

$V = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx$

$V = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$

$V = \pi \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^\pi$

$V = \pi \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4} - (0 - \frac{\sin 0}{4}) \right)$

$V = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 0 - 0 \right)$

$V = \frac{\pi^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{16\pi}{15}$

(2) $\frac{\pi^2}{2}$