与えられた関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりでテイラー展開（マクローリン展開）し、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の形にまとめる問題です。具体的には、以下の6つの関数について求めます。 (a) $f(x) = \log(1-x)$ (b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ (c) $f(x) = \arctan x$ (d) $f(x) = \cosh x$ (e) $f(x) = \sinh x$ (f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりでテイラー展開（マクローリン展開）し、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の形にまとめる問題です。具体的には、以下の6つの関数について求めます。

(a) $f(x) = \log(1-x)$

(b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$

(c) $f(x) = \arctan x$

(d) $f(x) = \cosh x$

(e) $f(x) = \sinh x$

(f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

各関数ごとにマクローリン展開を求めます。マクローリン展開は、テイラー展開において $a=0$ とした場合であり、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

で与えられます。ここで、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階微分を $x=0$ で評価した値です。

(a) $f(x) = \log(1-x)$

$f'(x) = -\frac{1}{1-x}$, $f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2}$, $f'''(x) = -\frac{2}{(1-x)^3}$, ..., $f^{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

よって、$f^{(n)}(0) = -(n-1)!$ ($n \geq 1$), $f(0) = 0$

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-(n-1)!}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{x^n}{n}$

(b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$

等比数列の和の公式を利用します。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(c) $f(x) = \arctan x$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$f(0) = \arctan 0 = 0$ なので、$C=0$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

(d) $f(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ を用いると、

$\cosh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n + (-x)^n}{n!}$

$n$ が奇数のとき、$x^n + (-x)^n = 0$, $n$ が偶数のとき、$x^n + (-x)^n = 2x^n$

よって、$n = 2k$ とおくと、

$\cosh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$

(e) $f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ を用いると、

$\sinh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n - (-x)^n}{n!}$

$n$ が偶数のとき、$x^n - (-x)^n = 0$, $n$ が奇数のとき、$x^n - (-x)^n = 2x^n$

よって、$n = 2k+1$ とおくと、

$\sinh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

(f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

$\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^{n-1}}{n} x^n$

$n$ が偶数のとき、$1+(-1)^{n-1} = 0$, $n$ が奇数のとき、$1+(-1)^{n-1} = 2$

よって、$n = 2k+1$ とおくと、

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} x^{2k+1} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = \log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

(b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(c) $f(x) = \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

(d) $f(x) = \cosh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$

(e) $f(x) = \sinh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

(f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$