2重積分 $\iint_D x \,dx\,dy$ の値を求める問題です。積分領域 $D$ は $\{(x, y) \,|\, 0 \le x^2 + y^2 \le 2y\}$ で与えられています。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x \,dx\,dy$ の値を求める問題です。積分領域 $D$ は $\{(x, y) \,|\, 0 \le x^2 + y^2 \le 2y\}$ で与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ となります。

(2) 積分領域 $D$ を極座標で表します。$x^2 + y^2 \le 2y$ は $r^2 \le 2r\sin\theta$ と書き換えられます。したがって、$r \le 2\sin\theta$ です。また、$r \ge 0$ であることから、$2\sin\theta \ge 0$、すなわち $\sin\theta \ge 0$ となります。これにより、$0 \le \theta \le \pi$ が得られます。したがって、積分領域 $E$ は $\{(r, \theta) \,|\, 0 \le \theta \le \pi, 0 \le r \le 2\sin\theta\}$ となります。

(3) 2重積分を計算します。

$$\iint_D x \,dx\,dy = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} r\cos\theta \cdot r \,dr\,d\theta = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} r^2\cos\theta \,dr\,d\theta$$

(4) $r$ について積分します。

$$\int_0^\pi \left[ \frac{r^3}{3}\cos\theta \right]_0^{2\sin\theta} d\theta = \int_0^\pi \frac{8}{3} \sin^3\theta \cos\theta \,d\theta$$

(5) $\theta$ について積分します。

$$\frac{8}{3} \int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \,d\theta = \frac{8}{3} \left[ \frac{\sin^4\theta}{4} \right]_0^\pi = \frac{8}{3} \left( \frac{\sin^4\pi}{4} - \frac{\sin^4 0}{4} \right) = \frac{8}{3} (0 - 0) = 0$$

3. 最終的な答え

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