関数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ がいずれも微分可能であるとき、関数 $y = f(x)g(x)h(x)$ の導関数が $y' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$ であることを示し、これを用いて関数 $y = (x^2 + 1)(x + 2)(3x - 4)$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ がいずれも微分可能であるとき、関数 $y = f(x)g(x)h(x)$ の導関数が $y' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$ であることを示し、これを用いて関数 $y = (x^2 + 1)(x + 2)(3x - 4)$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、$u(x) = f(x)g(x)$ と置くと、$y = u(x)h(x)$ となる。積の微分公式より、

$y' = u'(x)h(x) + u(x)h'(x)$

さらに、$u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ であるから、

$y' = (f'(x)g(x) + f(x)g'(x))h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

$y' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

次に、$y = (x^2 + 1)(x + 2)(3x - 4)$ を微分する。

$f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = x + 2$, $h(x) = 3x - 4$ とおくと、

$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 1$, $h'(x) = 3$

したがって、

$y' = 2x(x + 2)(3x - 4) + (x^2 + 1)(1)(3x - 4) + (x^2 + 1)(x + 2)(3)$

$= 2x(3x^2 + 6x - 4x - 8) + (x^2 + 1)(3x - 4) + 3(x^3 + 2x^2 + x + 2)$

$= 2x(3x^2 + 2x - 8) + (3x^3 - 4x^2 + 3x - 4) + (3x^3 + 6x^2 + 3x + 6)$

$= 6x^3 + 4x^2 - 16x + 3x^3 - 4x^2 + 3x - 4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 6$

$= (6x^3 + 3x^3 + 3x^3) + (4x^2 - 4x^2 + 6x^2) + (-16x + 3x + 3x) + (-4 + 6)$

$= 12x^3 + 6x^2 - 10x + 2$

3. 最終的な答え

$y' = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 2$