関数 $y = x^2(x^2-4)$ のグラフの概形を描く問題です。

はい、承知いたしました。画像にある練習17(1), (2)と練習18(3)の問題を解きます。

**練習17(1)**

1. 問題の内容

関数 $y = x^2(x^2-4)$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

* **関数の性質:**

* 偶関数であること ($y(-x) = y(x)$)。

* $y = x^2(x-2)(x+2)$と因数分解できる。

* **軸との交点:**

* $y=0$ となるのは $x=0, x=2, x=-2$ の時。

* $(0,0)$, $(2,0)$, $(-2,0)$ を通る。

* **増減:**

* 導関数 $y'= 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$。

* $y' = 0$ となるのは $x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}$ の時。

* 増減表を作成し、極値を求める。

| x | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | 0 | ... | $\sqrt{2}$ | ... |

| ---------- | -------- | ----------- | -------- | ----- | --------- | ----------- | ------- |

| $y'$ | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | $\searrow$ | $-4$ | $\nearrow$ | 0 | $\searrow$ | $-4$ | $\nearrow$ |

したがって、$x = -\sqrt{2}$ で極小値 $-4$, $x=0$ で極大値 $0$, $x=\sqrt{2}$ で極小値 $-4$を取る。

* グラフを描く。

3. 最終的な答え

グラフの概形：

* $x=0$で$x$軸に接する。

* $x = 2$と$x = -2$で$x$軸と交わる。

* $x = \pm \sqrt{2}$で極小値-4を持つ。

* $x = 0$で極大値0を持つ。

* 偶関数である。

**練習17(2)**

1. 問題の内容

関数 $y = x + 2\cos{x}$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

* **導関数:**

$y' = 1 - 2\sin{x}$

* **$y'=0$ となる $x$ の値を求める:**

$1 - 2\sin{x} = 0$ より、 $\sin{x} = \frac{1}{2}$。

$0 \leq x \leq 2\pi$ において、 $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。

* **増減表:**

| x | 0 | ... | $\frac{\pi}{6}$ | ... | $\frac{5\pi}{6}$ | ... | $2\pi$ |

| ---------- | ------- | ------------- | --------------- | ------------- | --------------- | ------------- | -------- |

| $y'$ | | + | 0 | - | 0 | + | |

| y | 2 | $\nearrow$ | $\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$ | $\searrow$ | $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$ | $\nearrow$ | $2\pi+2$ |

したがって、$x = \frac{\pi}{6}$ で極大値 $\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$、$x = \frac{5\pi}{6}$ で極小値 $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$ を取る。

* **端点での値:**

$x = 0$ のとき $y = 0 + 2\cos{0} = 2$。

$x = 2\pi$ のとき $y = 2\pi + 2\cos{2\pi} = 2\pi + 2$。

* **グラフを描く。**

3. 最終的な答え

グラフの概形：

* $x=0$で$y=2$。

* $x = \frac{\pi}{6}$で極大値$\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$を持つ。

* $x = \frac{5\pi}{6}$で極小値$\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$を持つ。

* $x = 2\pi$で$y=2\pi + 2$。

**練習18(3)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 - x + 4}{x}$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

* **定義域:** $x \neq 0$

* **漸近線:**

* $x = 0$ は垂直漸近線。

* $y = x - 1 + \frac{4}{x}$ と変形できるので、$y = x - 1$ は斜め漸近線。

* **導関数:**

$y' = \frac{(2x-1)x - (x^2 - x + 4)}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$

* **$y'=0$ となる $x$ の値を求める:**

$x^2 - 4 = 0$ より、$x = \pm 2$。

* **増減表:**

| x | -$\infty$ | ... | -2 | ... | 0 | ... | 2 | ... | +$\infty$ |

| ---------- | --------- | ------- | ---- | -------- | ------ | -------- | ---- | ------- | --------- |

| $y'$ | | + | 0 | - | | - | 0 | + | |

| y | | $\nearrow$ | -4 | $\searrow$ | 不存在 | $\searrow$ | 4 | $\nearrow$ | |

したがって、$x = -2$ で極大値 $-4$、$x = 2$ で極小値 $4$ を取る。

* グラフを描く。

3. 最終的な答え

グラフの概形：

* 垂直漸近線$x=0$、斜め漸近線$y=x-1$を持つ。

* $x = -2$で極大値-4を持つ。

* $x = 2$で極小値4を持つ。