関数 $f(x)$ と $g(x)$ およびそれらの導関数 $f'(x)$ と $g'(x)$ について、以下の式を証明します。ただし、$a$ と $b$ は定数、$n$ は整数とします。 (1) $\frac{d}{dx}f(ax+b) = af'(ax+b)$ (2) $\frac{d}{dx}\{g(x)\}^n = n\{g(x)\}^{n-1}g'(x)$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ およびそれらの導関数 $f'(x)$ と $g'(x)$ について、以下の式を証明します。ただし、$a$ と $b$ は定数、$n$ は整数とします。

(1) $\frac{d}{dx}f(ax+b) = af'(ax+b)$

(2) $\frac{d}{dx}\{g(x)\}^n = n\{g(x)\}^{n-1}g'(x)$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を用いて証明します。$u = ax+b$ と置くと、$\frac{du}{dx} = a$ となります。

$\frac{d}{dx}f(ax+b) = \frac{d}{dx}f(u) = \frac{df}{du}\frac{du}{dx} = f'(u) \cdot a = a f'(ax+b)$

したがって、$\frac{d}{dx}f(ax+b) = af'(ax+b)$ が成り立ちます。

(2) これも合成関数の微分法を用います。$u = g(x)$ と置くと、$\frac{du}{dx} = g'(x)$ となります。

$\frac{d}{dx}\{g(x)\}^n = \frac{d}{dx}u^n = \frac{d(u^n)}{du}\frac{du}{dx} = n u^{n-1} \cdot g'(x) = n\{g(x)\}^{n-1}g'(x)$

したがって、$\frac{d}{dx}\{g(x)\}^n = n\{g(x)\}^{n-1}g'(x)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx}f(ax+b) = af'(ax+b)$

(2) $\frac{d}{dx}\{g(x)\}^n = n\{g(x)\}^{n-1}g'(x)$