逆関数の微分法を用いて、関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分する。

1. 問題の内容

逆関数の微分法を用いて、関数 $y = \sqrt[6]{x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $y = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$ である。

逆関数の微分法を用いる場合、まず逆関数を求める。

$y = x^{\frac{1}{6}}$ より、$y^6 = x$ である。したがって、逆関数は $x = y^6$ と表せる。

この逆関数を $y$ で微分すると、

$\frac{dx}{dy} = 6y^5$

逆関数の微分法の公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6y^5}$

ここで、$y = x^{\frac{1}{6}}$ なので、$y^5 = (x^{\frac{1}{6}})^5 = x^{\frac{5}{6}}$ である。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}$

別の解き方として、$y = x^{\frac{1}{6}}$ を直接微分する方法がある。

$y = x^n$ の微分は $\frac{dy}{dx} = nx^{n-1}$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}$