曲線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて求めることができる。まず、$y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸との交点を求める。

$x^2 - 2x = 0$ を解くと、$x(x - 2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 2$ である。

したがって、積分範囲は $0 \le x \le 2$ となる。この範囲において、$y = x^2 - 2x$ は負の値をとるため、$y^2 = (x^2 - 2x)^2$ は正の値となる。回転体の体積 $V$ は、次の式で求められる。

$V = \pi \int_0^2 (x^2 - 2x)^2 dx$

積分を計算する。

\begin{align*}

V &= \pi \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx \\

&= \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 \\

&= \pi \left( \frac{2^5}{5} - 2^4 + \frac{4 \cdot 2^3}{3} \right) \\

&= \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right) \\

&= \pi \left( \frac{96 - 240 + 160}{15} \right) \\

&= \pi \left( \frac{16}{15} \right) \\

&= \frac{16}{15} \pi

\end{align*}

3. 最終的な答え

$V = \frac{16}{15} \pi$