(7) の問題は、$\int x\sqrt{x} \, dx$ を計算することです。 (8) の問題は、$\int \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx$ を計算することです。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(7) の問題は、$\int x\sqrt{x} \, dx$ を計算することです。

(8) の問題は、$\int \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

(7) の問題

$\int x\sqrt{x} \, dx$ を計算します。

まず、$x\sqrt{x}$ を $x$ のべき乗の形で表します。

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx$

べき乗則を用いて積分します。

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

ここで、$n = \frac{3}{2}$ なので、$n+1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ です。

したがって、

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

(8) の問題

$\int \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx$ を計算します。

まず、被積分関数を簡略化します。

$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x^{\frac{1}{2} - 1} = x^{-\frac{1}{2}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx$

べき乗則を用いて積分します。

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

ここで、$n = -\frac{1}{2}$ なので、$n+1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ です。

したがって、

$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

(7) の答え：$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

(8) の答え：$2\sqrt{x} + C$