不定積分 $\int 2x(x^2+1)^3 dx$ を求める。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 2x(x^2+1)^3 dx$ を求める。

2. 解き方の手順

この不定積分は、置換積分を使って解くことができる。

$u = x^2 + 1$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = 2x$

となる。したがって、$du = 2x dx$ となる。

これを使って、積分を書き換えると、

$\int 2x(x^2+1)^3 dx = \int u^3 du$

となる。

$u^3$ の不定積分は $\frac{1}{4}u^4 + C$ である。

ここで、$C$ は積分定数である。

最後に、$u$ を $x^2+1$ に戻すと、

$\int 2x(x^2+1)^3 dx = \frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$