与えられた2つの不定積分、 $\int \frac{1}{(x^2+a^2)^2}dx$ と $\int \frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx$ を、例題3.14の漸化式を利用して求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分、

$\int \frac{1}{(x^2+a^2)^2}dx$ と $\int \frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx$ を、例題3.14の漸化式を利用して求めよ。

2. 解き方の手順

例題3.14の漸化式が不明なので、一般的な積分漸化式を導出します。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx$ とおきます。

部分積分を用いて$I_n$を計算します。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx = \int 1 \cdot \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx$

$u = 1$, $dv = \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx$ とすると、

$du = 0$, $v = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx$ となります。部分積分では積分が簡単にならないので、別の方法を試します。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx = \frac{x}{(x^2+a^2)^n} - \int x \cdot (-n) \frac{2x}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx$

$= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n \int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx$

$= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n \int \frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx$

$= \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2n \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n}}dx - 2na^2 \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx$

$I_n = \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + 2nI_n - 2na^2 I_{n+1}$

$2na^2 I_{n+1} = \frac{x}{(x^2+a^2)^n} + (2n-1)I_n$

$I_{n+1} = \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} + \frac{2n-1}{2na^2} I_n$

漸化式が得られました。

$I_{n+1} = \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} + \frac{2n-1}{2na^2} I_n$

$I_1 = \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$

$n=1$ のとき、

$I_2 = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^2}dx = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^2} I_1 = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan(\frac{x}{a}) + C$

$n=2$ のとき、

$I_3 = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3}{4a^2} I_2 = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3}{4a^2}(\frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan(\frac{x}{a})) + C$

$= \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^5}\arctan(\frac{x}{a}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{(x^2+a^2)^2}dx = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan(\frac{x}{a}) + C$

$\int \frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^5}\arctan(\frac{x}{a}) + C$