与えられた数式の微分を計算し、空欄に当てはまる数値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式の微分を計算し、空欄に当てはまる数値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. $\{(5x^3+4x^2+x+1)^4\}'$ の計算:

* 合成関数の微分公式を利用します。

* $\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

* $f(u) = u^4$, $g(x) = 5x^3+4x^2+x+1$ とすると、

* $f'(u) = 4u^3$, $g'(x) = 15x^2+8x+1$

* $\{(5x^3+4x^2+x+1)^4\}' = 4(5x^3+4x^2+x+1)^3(15x^2+8x+1)$

* よって、(1)=4、(2)=$15x^2+8x+1$なので、(3)=15, (4)=8, (5)=1

2. $\{(\frac{x-1}{x})^3\}'$ の計算:

* $\frac{x-1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ より

* $(\frac{x-1}{x})' = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$

* $\{(\frac{x-1}{x})^3\}' = 3(\frac{x-1}{x})^2(-\frac{1}{x^2}) = -\frac{3(x-1)^2}{x^4} = -\frac{3(x^2-2x+1)}{x^4} = -\frac{3x^2-6x+3}{x^4} = -\frac{3}{x^2} + \frac{6}{x^3} - \frac{3}{x^4}$

* $\{(\frac{x-1}{x})^3\}' = 3(\frac{x-1}{x})^2(-\frac{1}{x^2})$ なので (6)=3, (7)=2, (8)=-3, (9)=$\frac{1}{x^2}$

3. $(\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

* よって、(10)=2

4. $\{(-x^3+2x^2+x+2)^3\}'$ の計算:

* 合成関数の微分公式を利用します。

* $\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

* $f(u) = u^3$, $g(x) = -x^3+2x^2+x+2$ とすると、

* $f'(u) = 3u^2$, $g'(x) = -3x^2+4x+1$

* $\{(-x^3+2x^2+x+2)^3\}' = 3(-x^3+2x^2+x+2)^2(-3x^2+4x+1)$

* よって、(11)=3、(12)=2、(13)=-3, (14)=4, (15)=1

5. $\{\sqrt{x^2+2x+2}\}' = \frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

* よって、(16)=1

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 15x^2+8x+1

(3) 15

(4) 8

(5) 1

(6) 3

(7) 2

(8) -3

(9) 1/x^2

(10) 2

(11) 3

(12) 2

(13) -3

(14) 4

(15) 1

(16) 1