与えられた数式の微分または計算を行い、空欄を埋める問題です。全部で5つの問題があります。

1. 問題の内容

与えられた数式の微分または計算を行い、空欄を埋める問題です。全部で5つの問題があります。

2. 解き方の手順

1. $\frac{2x}{x^2+2x+1} = \frac{2x}{(x+1)^2}$ の微分を計算します。

$\left(\frac{2x}{(x+1)^2}\right)' = \frac{2(x+1)^2 - 2x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1) - 4x}{(x+1)^3} = \frac{2x+2-4x}{(x+1)^3} = \frac{-2x+2}{(x+1)^3} = \frac{-2(x-1)}{(x+1)^3} = -\frac{2x-2}{(x+1)^3} = -\frac{2x-2}{(x^2+2x+1)(x+1)} = -\frac{2x-2}{x^3+3x^2+3x+1}$

$= \frac{-2x+2}{(x^2+2x+1)^2} \cdot (x^2+2x+1)$

$= -\frac{2(x-1)}{(x+1)^4} = -\frac{2x-2}{(x^2+2x+1)^2}$.よって、(1)=2, (2)=-2

2. $\frac{2x^2+3x-2}{-x^2+2x+1} = \frac{(2x-1)(x+2)}{-(x-1)^2}$　これ以上簡単にはできないので、問題がおかしい可能性がある。問題文の通りに分母を(-x^2+2x+1)^2にすると、分子は(3)x^2 + (4)となる。この場合、(3)と(4)は0になる。

分母が$(x^2+2x+1)^2$になるなら,$\frac{2x^2+3x-2}{-x^2+2x+1}=\frac{(2x-1)(x+2)}{-(x-1)^2}=-\frac{(2x-1)(x+2)}{(x-1)^2}$なのでこの場合は(3)=(4)=0になる。

3. $\frac{4x-1}{x^2+1}$ の微分を計算します。

$\left(\frac{4x-1}{x^2+1}\right)' = \frac{4(x^2+1) - (4x-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x^2+4-8x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-4x^2+2x+4}{(x^2+1)^2}$

よって、(5)=-4, (6)=2, (7)=4

4. $\frac{x^2+1}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2x}$

$(\frac{x^2+1}{2x})' = (\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^{-1})' = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2} = \frac{x^2-1}{2x^2}$.よって、(8)=1, (9)=2

5. $(\frac{3}{2x^2})' = (\frac{3}{2}x^{-2})' = \frac{3}{2}(-2x^{-3}) = -3x^{-3} = -\frac{3}{x^3}$.よって、(10)=3

3. 最終的な答え

(1)=2

(2)=-2

(3)=0

(4)=0

(5)=-4

(6)=2

(7)=4

(8)=1

(9)=2

(10)=3