与えられた積分問題を解きます。具体的には、以下の6つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{4x}{x^2+1} dx$ (2) $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1} dx$ (3) $\int \frac{dx}{\cos^2 x \tan x}$ (4) $\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ (5) $\int \frac{e^x+1}{e^x+x} dx$ (6) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。具体的には、以下の6つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{4x}{x^2+1} dx$

(2) $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1} dx$

(3) $\int \frac{dx}{\cos^2 x \tan x}$

(4) $\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$

(5) $\int \frac{e^x+1}{e^x+x} dx$

(6) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = x^2+1$ と置換すると、$dt = 2x dx$ なので、

$\int \frac{4x}{x^2+1} dx = \int \frac{2}{t} dt = 2\ln|t| + C = 2\ln(x^2+1) + C$ (∵ $x^2+1>0$)

(2)

$t = x^3 + 3x^2 + 1$ と置換すると、$dt = (3x^2 + 6x) dx = 3(x^2+2x) dx$ なので、

$\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1} dx = \int \frac{1}{3t} dt = \frac{1}{3}\ln|t| + C = \frac{1}{3}\ln|x^3+3x^2+1| + C$

(3)

$\int \frac{dx}{\cos^2 x \tan x} = \int \frac{dx}{\cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} = \int \frac{dx}{\cos x \sin x} = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x \sin x} dx$

$t = \sin x$ と置換すると、$dt = \cos x dx$ なので、

$\int \frac{\cos x}{\cos^2 x \sin x} dx = \int \frac{\cos x}{(1-\sin^2 x)\sin x} dx = \int \frac{1}{(1-t^2)t} dt = \int \frac{1}{t(1-t)(1+t)} dt$

ここで部分分数分解を行う。

$\frac{1}{t(1-t)(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1-t} + \frac{C}{1+t}$ とおくと、$1 = A(1-t)(1+t) + Bt(1+t) + Ct(1-t)$ となる。

$t = 0$ のとき、$1 = A(1)(1) \Rightarrow A = 1$

$t = 1$ のとき、$1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$

$t = -1$ のとき、$1 = C(-1)(2) \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$

よって、

$\int (\frac{1}{t} + \frac{1/2}{1-t} - \frac{1/2}{1+t}) dt = \ln|t| - \frac{1}{2}\ln|1-t| - \frac{1}{2}\ln|1+t| + C = \ln|\sin x| - \frac{1}{2}\ln|1-\sin x| - \frac{1}{2}\ln|1+\sin x| + C = \ln|\sin x| - \frac{1}{2}\ln|(1-\sin x)(1+\sin x)| + C = \ln|\sin x| - \frac{1}{2}\ln|1-\sin^2 x| + C = \ln|\sin x| - \frac{1}{2}\ln|\cos^2 x| + C = \ln|\sin x| - \ln|\cos x| + C = \ln\left|\frac{\sin x}{\cos x}\right| + C = \ln|\tan x| + C$

(4)

$t = 1+\sin x$ と置換すると、$dt = \cos x dx$ なので、

$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln|1+\sin x| + C$

ここで $-1 \le \sin x \le 1$ なので、$0 \le 1+\sin x \le 2$。ただし、$1+\sin x = 0$ となるのは $\sin x = -1$ のときで、$x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数)。これ以外のとき、$1+\sin x>0$なので、$\ln(1+\sin x) + C$

(5)

$t = e^x+x$ と置換すると、$dt = (e^x+1) dx$ なので、

$\int \frac{e^x+1}{e^x+x} dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln|e^x+x| + C$

(6)

$t = e^x + e^{-x}$ と置換すると、$dt = (e^x - e^{-x}) dx$ なので、

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln|e^x + e^{-x}| + C$

ここで、$e^x+e^{-x}>0$ なので、$\ln(e^x + e^{-x}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $2\ln(x^2+1) + C$

(2) $\frac{1}{3}\ln|x^3+3x^2+1| + C$

(3) $\ln|\tan x| + C$

(4) $\ln(1+\sin x) + C$

(5) $\ln|e^x+x| + C$

(6) $\ln(e^x + e^{-x}) + C$