与えられた2変数多項式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (y+7)x - (y^2 + 5y + 4)$

次に、定数項 $-(y^2 + 5y + 4)$ を因数分解します。

$y^2 + 5y + 4 = (y+1)(y+4)$

したがって、

$-(y^2 + 5y + 4) = -(y+1)(y+4)$

次に、$2x^2 + (y+7)x - (y+1)(y+4)$ が因数分解できると仮定して、

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

の形に展開すると、

$2x^2 + (2c+a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

となります。

これを $2x^2 + (y+7)x - (y^2 + 5y + 4) = 2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ と比較すると、

$ac = -1$

$2c+a = 1$

$2d+b = 7$

$ad+bc = -5$

$bd = -4$

$a = -1, c = 1$ とすると、

$2(1) + (-1) = 1$ となり条件を満たします。

$b = 1, d = -4$ とすると、$2(-4) + 1 = -7$ となり、7にならない。$b=-1, d=4$とすると、$2(4) -1 = 7$ となり条件を満たす。

また、$a(4) + b(1) = -4 - 1 = -5$ となり条件を満たす。

よって、$2x - y - 1$ と $x + y + 4$ に因数分解できると予想できます。

$(2x - y - 1)(x + y + 4) = 2x^2 + 2xy + 8x - xy - y^2 - 4y - x - y - 4 = 2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$

よって、因数分解の結果は $(2x - y - 1)(x + y + 4)$ です。

3. 最終的な答え

$(2x - y - 1)(x + y + 4)$