問題は、実数 $x$ について、命題「$x^2 + 6x + 7 = 0$ ならば $x < -2$」の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げることです。

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ について、命題「$x^2 + 6x + 7 = 0$ ならば $x < -2$」の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げることです。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 6x + 7 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$

となります。

したがって、$x = -3 + \sqrt{2}$ または $x = -3 - \sqrt{2}$ です。

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから、

$x = -3 + \sqrt{2} \approx -3 + 1.414 = -1.586$

$x = -3 - \sqrt{2} \approx -3 - 1.414 = -4.414$

$x = -3 + \sqrt{2}$ のとき、$x \approx -1.586$ であり、これは $x < -2$ を満たしません。

よって、$x = -3 + \sqrt{2}$ は命題の反例となります。

3. 最終的な答え

偽

反例: $x = -3 + \sqrt{2}$