行列 $X$, $Y$, $Z$ が与えられています。 (1) $X$ の転置行列を求めます。 (2) $Y$ が対称行列となるような $a$, $b$ の値を求めます。 (3) $Z$ が交代行列となるような $c$, $d$ の値を求めます。

## 問題4

1. 問題の内容

行列 $X$, $Y$, $Z$ が与えられています。

(1) $X$ の転置行列を求めます。

(2) $Y$ が対称行列となるような $a$, $b$ の値を求めます。

(3) $Z$ が交代行列となるような $c$, $d$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $X$ の転置行列は、行と列を入れ替えることで得られます。

(2) $Y$ が対称行列であるためには、$Y = Y^T$ が成り立つ必要があります。したがって、以下の条件が成立します。

$Y = \begin{bmatrix} -3 & 1 & a \\ b & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 7 \end{bmatrix}$

$Y^T = \begin{bmatrix} -3 & b & -2 \\ 1 & 5 & 4 \\ a & 4 & 7 \end{bmatrix}$

$Y=Y^T$ より、$1 = b$, $a = -2$ となります。

(3) $Z$ が交代行列であるためには、$Z = -Z^T$ が成り立つ必要があります。したがって、以下の条件が成立します。

$Z = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 3 \\ 5 & 0 & c \\ -3 & 2 & d \end{bmatrix}$

$Z^T = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -3 \\ -5 & 0 & 2 \\ 3 & c & d \end{bmatrix}$

$-Z^T = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 3 \\ 5 & 0 & -2 \\ -3 & -c & -d \end{bmatrix}$

$Z = -Z^T$ より、$c = -2$, $d = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $X^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

(2) $a = -2$, $b = 1$

(3) $c = -2$, $d = 0$

## 問題5

1. 問題の内容

(1) 行列 $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$ および $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ の逆行列を求めます。

(2) $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ を満たす正方行列 $M$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列は $\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ で求められます。

行列 $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$ の行列式は $5 \cdot 3 - 2 \cdot 6 = 15 - 12 = 3$ なので、逆行列は $\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -6 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ -2 & 5/3 \end{bmatrix}$ です。

行列 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ の行列式は $2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7$ なので、逆行列は $\frac{1}{7}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix}$ です。

(2) 与えられた式を $AMB = C$ とします。このとき、$M = A^{-1}CB^{-1}$ が成り立ちます。

$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ -2 & 5/3 \end{bmatrix}$, $B^{-1} = \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix}$

$M = A^{-1}CB^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ -2 & 5/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & -17/3 \\ 4/3 & 26/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14/21 & -35/21 \\ -14/21 & 56/21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/3 & -5/3 \\ -2/3 & 8/3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ -2 & 5/3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3/7 & 1/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{bmatrix}$

(2) $M = \begin{bmatrix} 2/3 & -5/3 \\ -2/3 & 8/3 \end{bmatrix}$