与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ -1 & 3 & 9 & -2 \\ 1 & -3 & -8 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

5 & 4 & 7 & 9 \\

-1 & 3 & 9 & -2 \\

1 & -3 & -8 & 1 \\

5 & 4 & 2 & 1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を使用します。ここでは、第1列に関する余因子展開を使用します。

まず、各要素の余因子を計算します。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 9 & -2 \\ -3 & -8 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(-8 - 2) - 9(-3 - 4) - 2(-6 - (-32)) = 3(-10) - 9(-7) - 2(26) = -30 + 63 - 52 = -19$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ -3 & -8 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -[4(-8 - 2) - 7(-3 - 4) + 9(-6 - (-32))] = -[4(-10) - 7(-7) + 9(26)] = -[-40 + 49 + 234] = -243$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ 3 & 9 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 4(9 - (-4)) - 7(3 - (-8)) + 9(6 - 36) = 4(13) - 7(11) + 9(-30) = 52 - 77 - 270 = -295$

$C_{41} = - \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ 3 & 9 & -2 \\ -3 & -8 & 1 \end{vmatrix} = -[4(9 - 16) - 7(3 - 6) + 9(-24 - (-27))] = -[4(-7) - 7(-3) + 9(3)] = -[-28 + 21 + 27] = -20$

次に、行列式を計算します。

$det = 5 * C_{11} + (-1) * C_{21} + 1 * C_{31} + 5 * C_{41} = 5(-19) - 1(-243) + 1(-295) + 5(-20) = -95 + 243 - 295 - 100 = -247$

3. 最終的な答え

-247