問題は、与えられた多項式を多項式 $B$ で割ったときの商と余りから、多項式 $B$ を求める問題です。2つの小問があります。 (1) $x^3 + 2x^2 - x - 1$ を $B$ で割ると、商が $x - 1$, 余りが $4x - 3$ となる。 (2) $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ を $B$ で割ると、商が $2x - 3$, 余りが $-2x$ となる。

1. 問題の内容

問題は、与えられた多項式を多項式 $B$ で割ったときの商と余りから、多項式 $B$ を求める問題です。2つの小問があります。

(1) $x^3 + 2x^2 - x - 1$ を $B$ で割ると、商が $x - 1$, 余りが $4x - 3$ となる。

(2) $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ を $B$ で割ると、商が $2x - 3$, 余りが $-2x$ となる。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の基本式は、

$A = BQ + R$

です。ここで、$A$ は割られる多項式、$B$ は割る多項式、$Q$ は商、$R$ は余りです。

この式を変形して、$B$ を求めます。

(1)

$x^3 + 2x^2 - x - 1 = B(x-1) + (4x - 3)$

$B(x-1) = x^3 + 2x^2 - x - 1 - (4x - 3)$

$B(x-1) = x^3 + 2x^2 - 5x + 2$

$B = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 2}{x-1}$

筆算または組み立て除法で $x^3 + 2x^2 - 5x + 2$ を $x-1$ で割ると、

$x^3 + 2x^2 - 5x + 2 = (x-1)(x^2 + 3x - 2)$

よって、$B = x^2 + 3x - 2$

(2)

$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = B(2x-3) + (-2x)$

$B(2x-3) = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 - (-2x)$

$B(2x-3) = 2x^3 - 7x^2 + 4x + 3$

$B = \frac{2x^3 - 7x^2 + 4x + 3}{2x-3}$

筆算または組み立て除法で $2x^3 - 7x^2 + 4x + 3$ を $2x-3$ で割ると、

$2x^3 - 7x^2 + 4x + 3 = (2x-3)(x^2 - 2x - 1)$

よって、$B = x^2 - 2x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $B = x^2 + 3x - 2$

(2) $B = x^2 - 2x - 1$