初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} + \alpha = 3(a_n + \alpha)$ の形に変形することを考えます。

展開すると、$a_{n+1} + \alpha = 3a_n + 3\alpha$ となり、元の漸化式と比較して $\alpha = 3\alpha - 2$ が成り立つように $\alpha$ を定めればよいことがわかります。

これを解くと、$-2\alpha = -2$ より $\alpha = 1$ を得ます。

よって、漸化式は

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

と変形できます。

ここで、$b_n = a_n + 1$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比 3 の等比数列となります。

したがって、$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ です。

$b_n = a_n + 1$ より、$a_n = b_n - 1$ であるから、

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$