与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下です。 $ \begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ -1 & 3 & 9 & -2 \\ 1 & -3 & -8 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 11 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下です。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ -1 & 3 & 9 & -2 \\ 1 & -3 & -8 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 11 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1: 1行目を基準にして、2行目以降の1列目を0にします。

2行目に (1/5) * 1行目を足す。

3行目に (-1/5) * 1行目を足す。

4行目に (-1) * 1行目を足す。

これにより、行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ 0 & 3.8 & 10.4 & -0.2 \\ 0 & -3.8 & -9.4 & -0.8 \\ 0 & -0 & -5 & 2 \end{vmatrix}$

ステップ2: 2行目を基準にして、3行目の2列目を0にします。

3行目に1* 2行目を足す。

これにより、行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ 0 & 3.8 & 10.4 & -0.2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & 2 \end{vmatrix}$

ステップ3: 3行目を基準にして、4行目の3列目を0にします。

4行目に5 * 3行目を足す。

これにより、行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ 0 & 3.8 & 10.4 & -0.2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

ステップ4: 対角成分の積を計算します。

$5 * 3.8 * 1 * (-3) = -57$

3. 最終的な答え

-57