与えられた行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ -1 & 3 & 9 & -2 \\ 1 & -3 & -8 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 11 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ -1 & 3 & 9 & -2 \\ 1 & -3 & -8 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 11 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する展開を使用します。ここでは、第1列に関する展開を使用して行列式を計算します。

$det(A) = 5 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{21} + 1 \cdot C_{31} + 5 \cdot C_{41}$

ここで、$C_{ij}$は要素$a_{ij}$の余因子です。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 9 & -2 \\ -3 & -8 & 1 \\ 4 & 2 & 11 \end{vmatrix} = 3(-88 - 2) - 9(-33 - 4) - 2(-6 + 32) = 3(-90) - 9(-37) - 2(26) = -270 + 333 - 52 = 11$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ -3 & -8 & 1 \\ 4 & 2 & 11 \end{vmatrix} = -[4(-88 - 2) - 7(-33 - 4) + 9(-6 + 32)] = -[4(-90) - 7(-37) + 9(26)] = -[-360 + 259 + 234] = -133$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ 3 & 9 & -2 \\ 4 & 2 & 11 \end{vmatrix} = 4(99 + 4) - 7(33 + 8) + 9(6 - 36) = 4(103) - 7(41) + 9(-30) = 412 - 287 - 270 = -145$

$C_{41} = - \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 \\ 3 & 9 & -2 \\ -3 & -8 & 1 \end{vmatrix} = -[4(9 - 16) - 7(3 - 6) + 9(-24 + 27)] = -[4(-7) - 7(-3) + 9(3)] = -[-28 + 21 + 27] = -20$

したがって、

$det(A) = 5(11) + (-1)(-133) + 1(-145) + 5(-20) = 55 + 133 - 145 - 100 = 188 - 245 = -57$

3. 最終的な答え

-57