与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ -1 & 3 & 9 & -2 \\ 1 & -3 & -8 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 11 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

5 & 4 & 7 & 9 \\

-1 & 3 & 9 & -2 \\

1 & -3 & -8 & 1 \\

5 & 4 & 2 & 11

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する展開を使用します。ここでは、第1列に関する展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

5 & 4 & 7 & 9 \\

-1 & 3 & 9 & -2 \\

1 & -3 & -8 & 1 \\

5 & 4 & 2 & 11

\end{vmatrix}

= 5 \cdot \begin{vmatrix}

3 & 9 & -2 \\

-3 & -8 & 1 \\

4 & 2 & 11

\end{vmatrix}

- (-1) \cdot \begin{vmatrix}

4 & 7 & 9 \\

-3 & -8 & 1 \\

4 & 2 & 11

\end{vmatrix}

+ 1 \cdot \begin{vmatrix}

4 & 7 & 9 \\

3 & 9 & -2 \\

4 & 2 & 11

\end{vmatrix}

- 5 \cdot \begin{vmatrix}

4 & 7 & 9 \\

3 & 9 & -2 \\

-3 & -8 & 1

\end{vmatrix}

$$

次に、3x3行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 9 & -2 \\

-3 & -8 & 1 \\

4 & 2 & 11

\end{vmatrix} = 3(-88 - 2) - 9(-33 - 4) + (-2)(-6 + 32) = 3(-90) - 9(-37) - 2(26) = -270 + 333 - 52 = 11

$$

$$

\begin{vmatrix}

4 & 7 & 9 \\

-3 & -8 & 1 \\

4 & 2 & 11

\end{vmatrix} = 4(-88 - 2) - 7(-33 - 4) + 9(-6 + 32) = 4(-90) - 7(-37) + 9(26) = -360 + 259 + 234 = 133

$$

$$

\begin{vmatrix}

4 & 7 & 9 \\

3 & 9 & -2 \\

4 & 2 & 11

\end{vmatrix} = 4(99 + 4) - 7(33 + 8) + 9(6 - 36) = 4(103) - 7(41) + 9(-30) = 412 - 287 - 270 = -145

$$

$$

\begin{vmatrix}

4 & 7 & 9 \\

3 & 9 & -2 \\

-3 & -8 & 1

\end{vmatrix} = 4(9 - 16) - 7(3 - 6) + 9(-24 + 27) = 4(-7) - 7(-3) + 9(3) = -28 + 21 + 27 = 20

$$

したがって、行列式は次のようになります。

$$

5(11) + 1(133) + 1(-145) - 5(20) = 55 + 133 - 145 - 100 = -57

$$

3. 最終的な答え

-57