数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, n^2 \cdot 1$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, n^2 \cdot 1$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = k^2(n-k+1)$

となる。ここで、$k=1, 2, \dots, n$ である。

したがって、求める和を $S$ とすると、

$S = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k^2(n-k+1) = \sum_{k=1}^n (nk^2 - k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^n ( (n+1)k^2 - k^3)$

$= (n+1) \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k^3$

ここで、

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

したがって、

$S = (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)^2}{12} (2(2n+1) - 3n)$

$= \frac{n(n+1)^2}{12} (4n+2-3n) = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$