不等式 $3 \leq |x-2| < 7$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $3 \leq |x-2| < 7$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くには、絶対値の中身の正負で場合分けをするか、絶対値の性質を利用します。今回は、絶対値の性質を利用して解きます。

まず、$3 \leq |x-2| < 7$ は、$3 \leq |x-2|$ かつ $|x-2| < 7$ という2つの不等式が同時に成り立つことを意味します。

(1) $|x-2| \geq 3$ について考えます。

この不等式は、$x-2 \geq 3$ または $x-2 \leq -3$ と同値です。

$x-2 \geq 3$ より、$x \geq 5$

$x-2 \leq -3$ より、$x \leq -1$

したがって、$x \geq 5$ または $x \leq -1$

(2) $|x-2| < 7$ について考えます。

この不等式は、$-7 < x-2 < 7$ と同値です。

各辺に2を加えると、$-5 < x < 9$

(3) (1)と(2)の結果を合わせて考えます。

$x \geq 5$ または $x \leq -1$ かつ $-5 < x < 9$ を満たす$x$の範囲を求めます。

$x \leq -1$ と $-5 < x < 9$ より、$-5 < x \leq -1$

$x \geq 5$ と $-5 < x < 9$ より、$5 \leq x < 9$

したがって、$-5 < x \leq -1$ または $5 \leq x < 9$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-5 < x \leq -1$ または $5 \leq x < 9$