ベクトル $a = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ が与えられています。 以下の問いに答えます。 (1) $a^T b$ (2) $b a^T$ (3) $a$ のノルム (4) $a$ の単位ベクトル (5) $(a, b)$

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ が与えられています。

以下の問いに答えます。

(1) $a^T b$ (2) $b a^T$ (3) $a$ のノルム (4) $a$ の単位ベクトル (5) $(a, b)$

2. 解き方の手順

(1) $a^T b$ はベクトル $a$ と $b$ の内積を表します。

$a^T b = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} = 2 \times 1 + 3 \times (-4) + 4 \times 2 = 2 - 12 + 8 = -2$

(2) $b a^T$ はベクトル $b$ と $a^T$ の積を表します。結果は行列になります。

$b a^T = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\times2 & 1\times3 & 1\times4 \\ -4\times2 & -4\times3 & -4\times4 \\ 2\times2 & 2\times3 & 2\times4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -8 & -12 & -16 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$

(3) ベクトル $a$ のノルムは、そのベクトルの長さです。

$\|a\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$

(4) ベクトル $a$ の単位ベクトルは、ベクトル $a$ をそのノルムで割ったものです。

$\hat{a} = \frac{a}{\|a\|} = \frac{1}{\sqrt{29}} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{29}} \\ \frac{3}{\sqrt{29}} \\ \frac{4}{\sqrt{29}} \end{bmatrix}$

(5) $(a, b)$ はベクトル $a$ と $b$ の内積を表します。これは(1)と同じです。

$(a, b) = a^T b = -2$

3. 最終的な答え

(1) $a^T b = -2$

(2) $b a^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -8 & -12 & -16 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$

(3) $\|a\| = \sqrt{29}$

(4) $\hat{a} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{29}} \\ \frac{3}{\sqrt{29}} \\ \frac{4}{\sqrt{29}} \end{bmatrix}$

(5) $(a, b) = -2$