$a$ を1より大きな実数の定数とする。関数 $f(x) = -x^2 + a^2x$ と $g(x) = x^3 - a^2$ について、2つの曲線 $C_1: y=f(x)$, $C_2: y=g(x)$ を考える。 (1) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形のうち、$f(x) \le g(x)$ となる部分の面積 $S_1$ と、$f(x) \ge g(x)$ かつ $x \le 0$ となる部分の面積 $S_2$ を求めよ。 (2) $S_1 = S_2$ となるときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を1より大きな実数の定数とする。関数 $f(x) = -x^2 + a^2x$ と $g(x) = x^3 - a^2$ について、2つの曲線 $C_1: y=f(x)$, $C_2: y=g(x)$ を考える。

(1) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形のうち、$f(x) \le g(x)$ となる部分の面積 $S_1$ と、$f(x) \ge g(x)$ かつ $x \le 0$ となる部分の面積 $S_2$ を求めよ。

(2) $S_1 = S_2$ となるときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x) = g(x)$ となる $x$ を求める。

$-x^2 + a^2x = x^3 - a^2$

$x^3 + x^2 - a^2x - a^2 = 0$

$x^2(x+1) - a^2(x+1) = 0$

$(x^2 - a^2)(x+1) = 0$

$(x-a)(x+a)(x+1) = 0$

よって、$x = a, -a, -1$ である。$a > 1$ より、$a > -1$ かつ $a > -a$ である。

$S_1$ は $f(x) \le g(x)$ となる部分の面積である。積分区間は $-a$ から $-1$ と $a$ である。$-a < -1 < a$ であることに注意する。

$-a \le x \le -1$ のとき、$g(x)-f(x) \ge 0$ である。

$g(x) - f(x) = x^3 + x^2 - a^2x - a^2 = (x+a)(x+1)(x-a)$.

$-a < x < -1$ では $(x+a) > 0$, $(x+1) < 0$, $(x-a) < 0$ なので $g(x)-f(x) > 0$。

$-1 \le x \le a$ のとき、$f(x)-g(x) \ge 0$ である。

$f(x)-g(x) = -x^3 - x^2 + a^2x + a^2 = -(x+a)(x+1)(x-a)$.

$-1 < x < a$ では $(x+a) > 0$, $(x+1) > 0$, $(x-a) < 0$ なので $f(x)-g(x) > 0$。

$S_1 = \int_{-a}^{-1} (g(x) - f(x)) dx = \int_{-a}^{-1} (x^3 + x^2 - a^2x - a^2) dx$

$= [\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{a^2x^2}{2} - a^2x]_{-a}^{-1}$

$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{a^2}{2} + a^2) - (\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{2} + a^3)$

$= \frac{1}{12} + \frac{a^2}{2} - \frac{a^4}{4} + \frac{a^3}{3} + \frac{a^4}{2} - a^3$

$= \frac{1}{12} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^4}{4} - \frac{2a^3}{3}$

$= \frac{3a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 1}{12}$

$S_2$ は $f(x) \ge g(x)$ かつ $x \le 0$ となる部分の面積である。積分区間は $-1$ から $0$ である。

$S_2 = \int_{-1}^0 (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^0 (-x^3 - x^2 + a^2x + a^2) dx$

$= [-\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{a^2x^2}{2} + a^2x]_{-1}^0$

$= 0 - (-\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{a^2}{2} - a^2)$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{a^2}{2} + a^2$

$= -\frac{1}{12} + \frac{a^2}{2}$

$= \frac{6a^2 - 1}{12}$

(2) $S_1 = S_2$ となるとき

$\frac{3a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 1}{12} = \frac{6a^2 - 1}{12}$

$3a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 1 = 6a^2 - 1$

$3a^4 - 8a^3 + 2 = 0$

ここで、$a=2$ を代入すると、$3(16) - 8(8) + 2 = 48 - 64 + 2 = -14 \ne 0$.

$a=1$ ならば $3-8+2 = -3 \ne 0$.

$a = \sqrt{2}$ を代入すると、$3 \times 4 - 8 \times 2\sqrt{2} + 2 = 14 - 16\sqrt{2} \ne 0$.

$a = \alpha$ を解に持つとすると、

$(a-\alpha)(3a^3 + \dots)=0$ となるはず。

関数 $h(a) = 3a^4 - 8a^3 + 2$ を考える。$h(0) = 2 > 0$, $h(1) = -3 < 0$, $h(2) = -14 < 0$, $h(3) = 81-216+2 = -133 < 0$.

$h(2.8) = 3(61.4656) - 8(21.952) + 2 = 184.3968 - 175.616 + 2 = 10.7808 - 2 \gt 0$, $h(2.5) = 3(39.0625) - 8(15.625) + 2 = 117.1875 - 125 + 2 = -5.8125 + 2 \lt 0$, $h(2.6) = 3(45.6976) - 8(17.576) + 2 = 137.0928 - 140.608 + 2 = -1.5152 + 2 \gt 0$

$2.5 < a < 2.6$.

$S_1 = S_2$

$\frac{3a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 1}{12} = \frac{6a^2 - 1}{12}$

$3a^4 - 8a^3 + 2 = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$S_1 = \frac{3a^4 - 8a^3 + 6a^2 + 1}{12}$

$S_2 = \frac{6a^2 - 1}{12}$

(2)

$3a^4 - 8a^3 + 2 = 0$

この方程式を満たす $a$ の値。数値解としては、$a \approx 2.55$。正確な解は四次方程式の解の公式を用いて求めるか、数値計算による近似値を求める。