$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2y + xy^2$ を因数分解します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

次に、$xy$ の値を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = 1$

次に、$x+y$ の値を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

$x+y = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

$x+y = \frac{(7 + 2\sqrt{21} + 3) + (7 - 2\sqrt{21} + 3)}{7 - 3}$

$x+y = \frac{10 + 2\sqrt{21} + 10 - 2\sqrt{21}}{4}$

$x+y = \frac{20}{4} = 5$

最後に、$xy(x+y)$ の値を計算します。

$xy(x+y) = 1 \cdot 5 = 5$

3. 最終的な答え

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