次の等式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。 (1) $a(x+2)-b(x-2)=4x$ (2) $x^3+ax-1=(x^2-bx)(x+2)+6x+c$ (3) $2x^2+1=a(x+1)^2+b(x+1)+c$ (4) $ax^2+bx+3=(x-1)(x+1)+c(x+2)^2$

はい、承知いたしました。

問題文に書かれている4つの問題全て解きます。

1. 問題の内容

次の等式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

(1) $a(x+2)-b(x-2)=4x$

(2) $x^3+ax-1=(x^2-bx)(x+2)+6x+c$

(3) $2x^2+1=a(x+1)^2+b(x+1)+c$

(4) $ax^2+bx+3=(x-1)(x+1)+c(x+2)^2$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開し、$x$ について整理すると、

$(a-b)x + (2a+2b) = 4x$

これが $x$ についての恒等式であるから、

$a-b = 4$

$2a+2b = 0$

この連立方程式を解くと、

$a = 2, b = -2$

(2)

右辺を展開し、$x$ について整理すると、

$(x^2-bx)(x+2)+6x+c = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$

よって、$x^3+ax-1 = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$

これが $x$ についての恒等式であるから、

$2-b = 0$

$a = 6-2b$

$-1 = c$

これらを解くと、

$b = 2, a = 2, c = -1$

(3)

右辺を展開し、$x$ について整理すると、

$a(x+1)^2+b(x+1)+c = a(x^2+2x+1) + b(x+1) + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

よって、$2x^2+1 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

これが $x$ についての恒等式であるから、

$a = 2$

$2a+b = 0$

$a+b+c = 1$

これらを解くと、

$a = 2, b = -4, c = 3$

(4)

右辺を展開し、$x$ について整理すると、

$(x-1)(x+1)+c(x+2)^2 = (x^2-1) + c(x^2+4x+4) = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

よって、$ax^2+bx+3 = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

これが $x$ についての恒等式であるから、

$a = 1+c$

$b = 4c$

$3 = 4c-1$

これらを解くと、

$c = 1, b = 4, a = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = -2$

(2) $a = 2, b = 2, c = -1$

(3) $a = 2, b = -4, c = 3$

(4) $a = 2, b = 4, c = 1$