与えられた式 $ (-2\sin 2t)^2 + (2 + 2\cos 2t)^2 $ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(-2\sin 2t)^2 + (2 + 2\cos 2t)^2$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、各項をそれぞれ展開します。

第1項:

$(-2\sin 2t)^2 = 4\sin^2 2t$

第2項:

$(2 + 2\cos 2t)^2 = 4 + 8\cos 2t + 4\cos^2 2t$

次に、2つの項を足し合わせます。

$4\sin^2 2t + 4 + 8\cos 2t + 4\cos^2 2t$

$\sin^2 2t$ と $\cos^2 2t$ をまとめます。

$4(\sin^2 2t + \cos^2 2t) + 4 + 8\cos 2t$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を適用します。

$4(1) + 4 + 8\cos 2t$

最後に、式を簡略化します。

$4 + 4 + 8\cos 2t = 8 + 8\cos 2t$

さらに、8でくくると、

$8(1 + \cos 2t)$

ここで、倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いて、$1 + \cos 2t = 2\cos^2 t$と変形できます。

$8(2\cos^2 t) = 16\cos^2 t$

3. 最終的な答え

$16\cos^2 t$